Experimentant amb la funció quadràtica

La funció quadràtica és abastament estudiada en els darrers cursos de la secundària obligatòria. Són molts els exemples i experimentacions que s’han emprat per tal de treballar-la; a tall d’exemple tenim els llançaments a cistella i la modelització de la seva trajectòria. En aquesta pràctica partirem de la corba que ens dóna la funció f(x)=x^2 i en un procés de recerca guiat en funció de l’edat del nostre alumnat, descobrirem propietats i aplicacions interessants. Per tal d’ajudar-nos en aquest procés he construït alguns applets en GeoGebra perquè la seva manipulació faciliti la cerca de conclusions. Evidentment, el professor pot incloure com a treball la realització d’aquestes construccions o similars per part dels alumnes; i és que no cal oblidar que aprenem fent.

Considerem la gràfica de la funció f(x)=x^2. La recta vertical x=0, l’eix d’ordenades, ens divideix la paràbola en dos trossos simètrics. Prenem un punt qualsevol de cadascuna de les branques tal i com es mostra en la figura 1.

figura 1

figura 2

Si unim aquests punts el segment resultant ens tallarà l’eix a una altura determinada (figura 2). Marquem el punt de tall entre el segment \overline{AB} i l’eix d’ordenades, i tracem dues semirectes amb origen els punts triats i direcció \overrightarrow{(0,-1)}.

Existeix alguna relació entre les distàncies a les que es troben cadascun dels punts A i B a l’eix d’ordenades i l’altura obtinguda per la intersecció del segment \overline{AB} amb l’eix x=0?

Les figures següents il·lustren la situació plantejada.

figura 3

figura 4

Desplacem els punts A i B de l’applet de GeoGebra per tal de donar-ne una resposta.

Pot ser interessant discutir-ho en grup i fer-ne una posada en comú. Per això cal assegurar-se’n de no desplaçar del no al el punt lliscant que hi apareix fins que no s’hagi manipulat i discutit suficientment la construcció.

Sorprenent, oi? Ens trobem davant d’una màquina de multiplicar! La podem emprar per a fer multiplicacions o divisions de nombres reals. Alhora també ens serveix per determinar parelles de nombres tals que el seu producte sigui igual a un ja donat anteriorment. Si seleccionem la Pràctica 2 de l’applet de GeoGebra veurem com la màquina ens pot ser útil per estudiar situacions com les següents:

  • Troba dos nombres que multiplicats doni 30. Quants en podem trobar?
  • Si dibuixem en uns eixos de coordenades el conjunt de valors (x,y) de manera que x·y=30, què obtenim?
  • I si en lloc de 30 és un altre valor qualsevol, a quines conclusions arribem?

imatge de la pràctica portada a 2n d’ESO

Construcció


Pot resultar un bon projecte la construcció física de l’aparell.

Recomano una planxa metàl·lica de 50\, \times \, 50\ [cm^2], un metre i mig de cordill, dos imants de neodimi amb ganxos, dos pesos i la funció quadràtica dibuixada en uns eixos de coordenades amb els nombres ben marcats.
[us podeu descarregar i imprimir aquestes plantilles: sencera / en 4 trossos]

  • Imprimirem la funció quadràtica i la muntarem de manera que tingui les mides de la planxa.
  • Els dos imants amb ganxos seran els dos punts de la paràbola.
  • Farem passar el cordill pels dos ganxos i per finalitzar, lligarem els pesos als extrems del cordill. D’aquesta manera aconseguirem que estigui ben tensat.

Demostració


A partir de tercer o quart de secundària podem plantejar als nostres alumnes que intentin demostrar la propietat trobada. D’aquesta manera treballarem els conceptes de raó, semblança, proporcionalitat, el Teorema de Tales, identitats notables, etc.

En la següent construcció de GeoGebra es pot seguir la demostració.

I si fem un pas al 3D?


La pregunta que ens sorgeix ara és què succeirà si treballem en 3 dimensions?

Aquest pot resultar un bon exercici per a les classes de batxillerat. Per respondre aquesta i d’altres preguntes que s’esdevenen, seguirem les instruccions de l’applet i estudiarem de forma ordenada els tres casos que es presenten.

En el cas 1 observem com la paràbola és obtinguda a partir de la intersecció del paraboloide z=x^2+y^2 i un pla que conté l’eix z (pla 1).

Activant i desactivant les respectives caselles de control veurem la construcció.

Prenent dos punts, A i B, sobre aquesta paràbola i unint-los, el segment que determinen interseca l’eix z en el punt “producte” C en el mateix sentit que abans ho fèiem en 2D. El producte de les distàncies respectives des d’aquests punts a l’eix z ve donat pel valor on el segment \overline{AB} talla l’eix. Talment podem reproduir aquesta idea per a les infinites paràboles que s’obtindrien si considerem el feix de plans que conté l’eix z. Ho podem observar desplaçant el punt lliscant \alpha .

figura 5

Ara bé, i si fixem el valor del producte? És a dir, podríem donar un determinat valor de l’eix z i estudiar quines parelles de punts de les paràboles verifiquen la relació estudiada. Aleshores, considerem un segon pla perpendicular al pla 1 i que contingui el punt C. Quants plans existeixen amb aquestes condicions? Un nou feix! Cadascun d’aquests ens determina la parella de punts que busquem quan interseca amb la paràbola. Tot això ho podrem observar en el cas 2.

figura 6

La investigació continua i, si tenim activades les caselles de control paraboloide i pla 2, veurem que aquests intersequen en una el·lipse amb eix major el segment \overline{AB}.

figura 7

Es pot veure com totes les parelles de punts de l’el·lipse que units formen un segment que passa per C compleixen que el producte de les seves distàncies a l’eix z és igual a l’altura de C.

figura 8

Activant l’opció del cas 3 finalitzarem la generalització d’una petita investigació que començava manipulant dos punts sobre la gràfica de f(x)=x^2 .

Consideracions/recomanacions per dur-la a l’aula


Considero que aquesta pot resultar una pràctica interessant de centre ja que es pot portar a l’aula en diferents cursos per treballar temes propis del currículum.
Els alumnes del cicle superior de Primària o del primer cicle de l’ESO poden realitzar perfectament la seva construcció i, d’aquesta manera utilitzar-la a les classes com a màquina multiplicadora. És molt útil per fer estimacions de càlculs:

  1. Donats dos nombres qualssevol entre 0 i 10 estimar quin serà el seu producte.
  2. Donat un nombre entre 0 i 100, i un altre entre 0 i 10 estimar quin serà el quocient del primer respecte el segon nombre.
  3. Donat un nombre entre 0 i 100 estimar quina seria la seva arrel quadrada.

Un altre aspecte interessant per treballar a 1r i 2n d’ESO és expressar un nombre com a producte de dos altres, i aquests últims expressar-los com un parell ordenat.
Per exemple, donat el nombre 30 les primeres parelles que surten, si es planteja el dubte a tota la classe, són (1,30) (2,15) (3,10) (6,5). Si els representem en uns eixos de coordenades provoquem que també surtin les parelles (5,6) , (10,3) , (15,2) i (30,1) repassant d’aquesta manera la propietat de commutativitat del producte.
Cal forçar un xic més perquè entre tots surti que les parelles (-1,-30), (-2,-15), …. també serien solució del problema plantejat.
La descoberta per a ells esdevé quan se n’adonen que hi ha infinites parelles de nombres que multiplicades donen 30… i això és espectacular. La discussió en petits grups i la posada en comú facilitarà aquestes petites descobertes. Tanmateix, la manipulació dels applets de GeoGebra presentats anteriorment també podrien ajudar.

Al segon cicle de l’ESO podem portar l’activitat per treballar la funció de proporcionalitat inversa, la funció quadràtica i la propietat multiplicadora que té aquesta última. Reforçaríem els conceptes de funció, imatge i antimatge, intersecció entre dues corbes, identitats notables, hipèrbola, equacions de la recta, proporcionalitat, raó, semblança, Teorema de Tales,…

A 1r de Batx l’activitat entra amb més força ja que, a part dels punts anteriors, podem treballar l’expressió del feix de rectes que passa per un punt, la paràbola, la hipèrbola i l’el·lipse com a còniques. També pot ser convenient proposar que construeixin en grups applets de GeoGebra sembants als proposats i que els permetin visualitzar les hipòtesis que es fan.

El pas a 3D jo el proposo per a 1r de batxillerat (la visualització) i per a 2n de batx (la construcció). Ens serà útil per treballar equacions de plans, feixos de plans secants, plans ortogonals, interseccions entre plans, …

Per descomptat ens trobem davant d’una activitat de LABORATORI DE MATEMÀTIQUES.

Nivell:  internivells
Tema:  investigacions
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Anuncis
Publicat dins de 00 General | Deixa un comentari

Introducció a les funcions amb un role playing!

Hi ha uns quants conceptes que entren en la definició de funció real de variable real. Per tal d’introduir-los en una primera classe proposo realitzar un role playing; d’aquesta manera els alumnes seran protagonistes de la definició i les seves accions seran claus per poder realitzar una bona definició de funció.

Donem a cada alumne un DIN A5 i un retolador, i els dividim en dos grups ben separats per tal que els components d’un grup no sentin les instruccions que reben els de l’altre. Fem que dins de cada grup s’ordenin mitjançant un criteri: data de naixement, alçada, alfabètic,… i que escriguin el número que els correspon a partir de l’ordenació en el paper que se’ls ha donat. Suposem que en el grup A tenim 18 alumnes i en el grup B, 15 alumnes. Anem al grup A, per exemple, i donem les següents instruccions:

  • Cada alumne tria, si vol, un número entre l’1 i el 15 (la quantitat d’alumnes que tenim en l’altre grup)
  • Demanem que cap alumne digui el seu número triat i alhora, que alguns no triïn cap número.
003 004

Anem al pati o a una sala gran i disposem els dos grups formant dues files perpendiculars (formaran els eixos de coordenades).

Cada individu del grup A, i de forma ordenada, dirà en veu alta si ha triat un número i en cas afirmatiu quin ha estat. Acte seguit, la persona del grup B triada posarà un objecte (la seva jaqueta) a l’altura d’on es trobi ell i de l’alumne que l’ha triat de l’altre equip. D’aquesta manera, i a mesura que es va desenvolupant l’activitat anirem introduint els diferents conceptes que intervenen en la definició de funció.

005 006
  • Quants conjunts hem necessitat per fer el role playing? [conjunt inicial i conjunt final]
  • Quin grup ha estat lliure de triar o no elements de l’altre grup?
    Els alumnes de l’altre grup han pogut decidir amb qui s’aparellaven? [variable independentvariable dependent]
  • Un individu del Grup A quantes relacions pot tenir? I un individu del Grup B? [norma perquè una relació sigui aplicació].
    Canviem una del objectes (jaquetes) de manera que algun dels individus del Grup A estigui relacionat amb més d’un individu del Grup B i preguntem si la representació feta podria correspondre a una funció.
  • Fem que tots els individus del Grup A que no hagin escollit número s’asseguin. Què representa el conjunt d’alumnes del Grup A que estan drets? [domini]
  • Fem que tots els individus del Grup B que no hagin estat triats s’asseguin. Què representa el conjunt d’alumnes del Grup B que estan drets? [imatge]
007 009
  • Triem alumnes del Grup A i els preguntem per les seves imatges.
    Triem alumnes del Grup B i els preguntem per les seves antiimatges.
    Ens assegurem que surtin tots els casos possibles: alumnes que no tinguin imatge, que no tinguin antiimatge, que tinguin imatge, que tinguin una antiimatge i que tinguin més d’una antiimatge.

També és interessant, una vegada s’ha anat adquirint el llenguatge, proposar situacions límits de reflexió. Per exemple,

  • Pot ser que el Grup A tingui tots els alumnes drets? Quan s’hagués produït això? [tots formen part del domini]
  • Pot ser que cap alumne del Grup A estigui dret? [el domini de la funció és conjunt buit i no hi haurà objectes al terra; no hi haurà gràfica]
  • Pot ser que el Grup A només tingui un alumne dret? Quants alumnes del Grup B estarien drets, llavors?

I ara, fer el mateix tipus de preguntes referides al Grup B.

Tot seguit, ens ajuntem tots a classe i apuntem a la pissarra tot el vocabulari que ha anat sortint en l’activitat amb l’objectiu de construir entre tots una bona definició de funció real de variable real.

La definició va ser fantàstica i, com a conseqüència, els conceptes es van assumir.

Nivell: 3r-4t d’ESO – 1r de Batxillerat
Tema: Funcions
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Publicat dins de 04 Batxillerat, 4t d'ESO | Etiquetat com a , , | Deixa un comentari

I tu què hi veus?

Durant aquesta setmana he iniciat les trobades amb alumnes de l’ESO de La Salle Bonanova en El club de raonament; un grup de matemàtiques on hi participen lliurement noies i nois entusiasmats amb el repte i amb moltes ganes de jugar i crear.

En aquest post detallo la primera activitat que hem realitzat i que ha estat tot un èxit: “I tu què hi veus?“.

Es basa en un preciós detall elaborat pel MMACA i que va ser lliurat per ABEAM a tots els participants en les seves XVIII Jornades, celebrades al novembre del 2015.

Primer de tot es reparteix a cada alumne la plantilla següent:factoritzacio

Se’ls explica que formen part d’un equip d’investigadors, tots formen un mateix equip, i que tenen com a repte desxifrar què s’hi troba en aquest full.

A més a més, se’ls fa entrega del Kit de supervivència per dialogar a l’aula,-no us podeu perdre aquest post d’en Sergi del Moral, i es recomana que algú del grup escrigui a la pissarra totes les idees que vagin sortint, amb l’objectiu que tothom les vegi i faciliti el debat.

En aquests moments, i durant una bona estona, s’acaba la nostra feina. És important que no intervinguem donant pistes; cal deixar que el temps passi i que es creï un clima de debat i confiança per tal que tots els alumnes se sentin lliures d’opinar, encara que ens sembli que alguna idea s’estigui allunyant de l’objectiu. Amb aquesta experiència estem treballant la comunicació i la construcció de coneixement de forma col·laborativa. Cal que els alumnes sentin que el repte és d’ells i que són capaços, en grup, d’assolir-lo. Us escric algunes de les idees/frases que van sortir, encertades o no. Són les seves observacions:

  • Falta un cercle. Per què?
  • Hi ha cercles de 6 tipus diferents (i van escriure quants n’havien de cada tipus)
  • N’hi ha 99
  • Estan en un quadrat de 10 x 10
  • El cercles de més a baix estan més dividits
  • En totes les files hi ha cercles sencers (no dividits)
  • En la quarta, sisena, vuitena i desena columna no hi ha cercles sencers
  • La segona columna està malament! El primer cercle hauria d’estar dividit
  • Això no té a veure amb la successió de Fibonacci?  –sempre hi ha algun alumne que ha sentit campanes. Veu que els tres primers cercles són 1,1,2 si mirem les seves parts
  • Això va d’esquerra a dreta i de dalt a baix! I són números.
  • Els números parells a partir del 4 tots estan dividits com a mínim en dos trossos ja que es poden dividir per 2.
  • I què passa amb el 9? Està dividit en dos trossos.

20160923_085925

Finalment, després d’uns 25 minuts en els meus grups, van acabar deduint que es tractava de la descomposició factorial en nombres primers.

A partir d’aquí, pots tornar a intervenir en l’activitat i posar sobre la taula bones preguntes que portin a la reflexió i a continuar amb el debat, o deixar que segueixin deduint propietats per ells mateixos. Tot dependrà de l’edat dels alumnes, el temps que disposem, el grup… Us deixo unes quantes preguntes a tall d’exemple:

  • Què representen el cercles no dividits en parts?
  • Si haguéssim de pintar la plantilla quants colors diferents necessitaríem?    –Els nombres primers són els àtoms de la matemàtica
  • Per què no apareix el primer cercle?
  • Per què la segona columna només té un cercle no dividit en parts? Està malament la plantilla?
  • Quines característiques defineix un nombre en aquesta plantilla? És a dir, en què es diferencien el 6, el 9 i el 10, per exemple? I el 4 i el 36?

Els deixem que pintin la seva plantilla.

treball_aulafactoritzacio_pintat

I un cop pintada podem aprofitar per seguir traient-li suc:

  • Quina disposició en la taula tenen els múltiples de 3? I els de 7?  I els de l’11? Trobarem patrons com els que es treballen amb la graella del 100, molt interessants per treballar a primària. Us recomano que visiteu el post que al respecte tenen els del PuntMat.
  • Com podem identificar, a partir de la forma (nombre de divisions) i color, si un nombre és un quadrat perfecte?

 

En el següent enllaç trobareu la plantilla amb GeoGebra: https://ggbm.at/p6qq75Yn

Atreviu-vos a posar-la en pràctica!

Nivell: Cicle superior de Primària – ESO
Tema: Factorització – Divisibilitat – Patrons i regularitats – Nombres primers
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Publicat dins de 03 Secundària, 04 Batxillerat | Etiquetat com a , | 2 comentaris

Omplim de taulellets!

Un taulellet és una rajola decorada i envernissada típica de València. Generalment és de forma quadrada i s’utilitza per a cobrir parets.  [http://rodamots.cat/taulellet/]

Suposem que volem enrajolar un tros de paret rectangular de mesures 28 \text{ dm } \times 12 \text{ dm }.
Per fer-ho disposem de taulellets de costat enter. Només hi ha tres normes:

  1. No podem superposar els taulellets. Les rajoles han d’anar enganxades directament a la paret.
  2. No els podem trencar. No és permès enganxar trossets de taulellet.
  3. Cal omplir tota la superfície sense sortir-se’n del perímetre.

euclides_01

Podríem enrajolar-la amb taulellets d’ 1 \times 1 \text{ dm } ? I amb taulellets de 3 \times 3 \text{ dm } ? Quants taulellets necessitaríem en cada cas?  
Continua llegint

Publicat dins de 1r d'ESO, 2n d'ESO, Cicle Superior | Etiquetat com a , , | Deixa un comentari

Tot preparant la setmana PI! (Cuinem i assaborim)

Saps quin gust té \pi? T’agradaria menjar-te’l? Aquí us deixo la gran recepta de les galetes \pi elaborades gràcies al motllo aconseguit en la MMACA.
Han estat tot un èxit entre el professorat i els alumnes!  😉

pas_14

Ingredients:

  • 125 g de mantega
  • 250 g de farina
  • 100 g de sucre
  • 50 ml de llet
  • 1 cullaradeta de llevat químic
  • Una mica de cacao en pols sense sucre, per donar color
  • aroma d’anís

Elaboració:

Treure la mantega de la nevera fins que quedi a temperatura ambient i treballar-la amb una forquilla fins que quedi amb textura de pomada.

  1. Barrejar en un bol la farina, el sucre, el llevat i el cacao.
  2. Escalfar la llet i afegir-la, juntament amb la matega, al bol.
  3. Treballar la massa amb una cullera de fusta i incorporar l’aroma d’anís.
  4. Seguir fins que  la massa es desenganxi de les parets.
  5. Enfarinar la taula de la cuina i posar-hi la massa.
  6. Amb un corró, allisar la massa i tornar a fer una bola (repetir aquesta acció E(\pi)\pm 1, i.e. 2,3 o 4 cops)
  7. Encendre el forn i esperar que arribi als 180ºC.
  8. Posar les galetes al forn uns 20 minuts vigilant que no es cremin.
  9. Deixar-les refredar.

L’elaboració en imatges:

Aquesta presentació amb diapositives necessita JavaScript.

BON PROFIT!!!

Nivell: Tots els nivells
Tema: Dia \pi
Recurs: Recepta de cuina
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Publicat dins de 00 General, 01 Infantil, 02 Primària, 03 Secundària, 04 Batxillerat | Etiquetat com a , , , | 1 comentari

Tot preparant la setmana PI! (Dobleguem i dibuixem)

En aquesta segona entrada treballarem la geometria des de la papiroflèxia i el GeoGebra. D’aquesta manera descobrirem alguns conceptes mitjançant la manipulació i la geometria dinàmica.

Material necessari:

  • Tisores, regle o cinta mètrica i compàs
  • Llibreta i eines per escriure o pintar
  • Ordinador o tauleta amb la darrera versió de Geogebra instal·lat i connexió a internet.
  • Mòbil (per realitzar fotos).
  • Fitxa retallable per als alumnes

Indicacions abans de realitzar l’activitat:

  • Disposició dels alumnes a l’aula: Malgrat no és imprescindible, seria convenient que els nois treballessin en grups de 2 o 3 persones per tal d’afavorir tant la discussió en la realització de la pràctica com la posada en comú de les idees i resultats obtinguts.
  • El professor hauria de portar impresa la fitxa enllaçada en l’apartat de material necessari. La quantitat de còpies és \normalsize E[n]+1 on \normalsize n és el nombre d’alumnes que faran l’activitat.
  • L’activitat es dividirà en dues parts. En funció del grup, el curs i els coneixements previs que tinguin els alumnes el professor podrà seleccionar quina o quines parts pot realitzar.

Realització de l’activitat:

1a part: Manipulació, papiroflèxia i dibuix

Se segueix el següent guió enllaçat, i després del 3r punt de la pràctica es reparteix el document (un full per grup) on hi ha 6 quadrats amb tres punts dibuixats (A, B i C).

2a part: Geogebra

Continguts:

  • Treball amb Geogebra.
  • Circumferència mitjançant tres punts no alineats.
  • Mediatriu i circumferència com a lloc geomètric.
  • Relació entre la longitud i el diàmetre de qualsevol circumferència.

Realització de la pràctica:

  • Primerament es demana als alumnes que facin fotografies d’objectes circulars que trobin per l’escola per tal de treballar-los amb GeoGebra.
  • Obriran el seu GeoGebra i seguiran la següent construcció dinàmica: enllaç

Excepcionalment per a aquells grups que no hagin emprat mai GeoGebra, o si hi ha alguna part de la construcció que no se sàpiga realitzar, es pot visualitzar el següent vídeo:

 

Nivell: ESO
Tema: Dia \pi
Recurs: Papiroflèxia i Geogebra
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Publicat dins de 00 General, 03 Secundària | Deixa un comentari

Tot preparant la setmana PI! (Mesurem)

En aquesta segona entrada treballarem la mesura mitjançant la manipulació i el full de càlcul.

Material necessari:

  • Un objecte circular, com més gran millor.
    Exemples: un got, un CD, una tassa, una ampolla de plàstic, una capsa de galetes, una anella, una roda,…
    mesurem_pi_01
  • Cinta mètrica de costura o la magnífica cinta IKEA (mesurades en cm i en polzades)
    mesurem_pi_02
  • Cinta adhesiva/ Blu tack mesurem_pi_03
  • Llibreta i eines per escriure o pintar
  • Portàtil , tauleta… amb connexió a Internet

Indicacions abans de realitzar l’activitat:

  • Disposició dels alumnes a l’aula: Els alumnes s’agrupen en equips de 5 / 6 persones per tal d’afavorir tant la discussió en la realització de la pràctica com la posada en comú de les idees i resultats obtinguts.
  • Aquesta pràctica parteix d’una activitat col.laborativa on tots els alumnes de secundària del centre mesuraran el perímetre i el diàmetre de l’objecte circular que hagin dut. S’ajuntaran totes les dades en un full de càlcul i després, depenent del nivell, es treballaran uns conceptes o d’altres. Així doncs, és un projecte que constarà de dues fases.

1a Fase: Recollida de dades.

Caldrà que cada grup es baixi el guió de l’activitat enllaçat a continuació, corresponent al seu curs:  1r d’ESO    2n d’ESO    3r d’ESO    4t d’ESO

2a Fase: Anàlisi de resultats.

(en construcció)

Nivell: Secundària
Tema: Dia \pi
Recurs: Pràctica col·laborativa, mesura i full de càlcul
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Publicat dins de 00 General, 03 Secundària | Etiquetat com a , , | Deixa un comentari