Introducció a les funcions amb un role playing!

Hi ha uns quants conceptes que entren en la definició de funció real de variable real. Per tal d’introduir-los en una primera classe proposo realitzar un role playing; d’aquesta manera els alumnes seran protagonistes de la definició i les seves accions seran claus per poder realitzar una bona definició de funció.

Donem a cada alumne un DIN A5 i un retolador, i els dividim en dos grups ben separats per tal que els components d’un grup no sentin les instruccions que reben els de l’altre. Fem que dins de cada grup s’ordenin mitjançant un criteri: data de naixement, alçada, alfabètic,… i que escriguin el número que els correspon a partir de l’ordenació en el paper que se’ls ha donat. Suposem que en el grup A tenim 18 alumnes i en el grup B, 15 alumnes. Anem al grup A, per exemple, i donem les següents instruccions:

  • Cada alumne tria, si vol, un número entre l’1 i el 15 (la quantitat d’alumnes que tenim en l’altre grup)
  • Demanem que cap alumne digui el seu número triat i alhora, que alguns no triïn cap número.
003 004

Anem al pati o a una sala gran i disposem els dos grups formant dues files perpendiculars (formaran els eixos de coordenades).

Cada individu del grup A, i de forma ordenada, dirà en veu alta si ha triat un número i en cas afirmatiu quin ha estat. Acte seguit, la persona del grup B triada posarà un objecte (la seva jaqueta) a l’altura d’on es trobi ell i de l’alumne que l’ha triat de l’altre equip. D’aquesta manera, i a mesura que es va desenvolupant l’activitat anirem introduint els diferents conceptes que intervenen en la definició de funció.

005 006
  • Quants conjunts hem necessitat per fer el role playing? [conjunt inicial i conjunt final]
  • Quin grup ha estat lliure de triar o no elements de l’altre grup?
    Els alumnes de l’altre grup han pogut decidir amb qui s’aparellaven? [variable independentvariable dependent]
  • Un individu del Grup A quantes relacions pot tenir? I un individu del Grup B? [norma perquè una relació sigui aplicació].
    Canviem una del objectes (jaquetes) de manera que algun dels individus del Grup A estigui relacionat amb més d’un individu del Grup B i preguntem si la representació feta podria correspondre a una funció.
  • Fem que tots els individus del Grup A que no hagin escollit número s’asseguin. Què representa el conjunt d’alumnes del Grup A que estan drets? [domini]
  • Fem que tots els individus del Grup B que no hagin estat triats s’asseguin. Què representa el conjunt d’alumnes del Grup B que estan drets? [imatge]
007 009
  • Triem alumnes del Grup A i els preguntem per les seves imatges.
    Triem alumnes del Grup B i els preguntem per les seves antiimatges.
    Ens assegurem que surtin tots els casos possibles: alumnes que no tinguin imatge, que no tinguin antiimatge, que tinguin imatge, que tinguin una antiimatge i que tinguin més d’una antiimatge.

També és interessant, una vegada s’ha anat adquirint el llenguatge, proposar situacions límits de reflexió. Per exemple,

  • Pot ser que el Grup A tingui tots els alumnes drets? Quan s’hagués produït això? [tots formen part del domini]
  • Pot ser que cap alumne del Grup A estigui dret? [el domini de la funció és conjunt buit i no hi haurà objectes al terra; no hi haurà gràfica]
  • Pot ser que el Grup A només tingui un alumne dret? Quants alumnes del Grup B estarien drets, llavors?

I ara, fer el mateix tipus de preguntes referides al Grup B.

Tot seguit, ens ajuntem tots a classe i apuntem a la pissarra tot el vocabulari que ha anat sortint en l’activitat amb l’objectiu de construir entre tots una bona definició de funció real de variable real.

La definició va ser fantàstica i, com a conseqüència, els conceptes es van assumir.

Nivell: 3r-4t d’ESO – 1r de Batxillerat
Tema: Funcions
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Publicat dins de 04 Batxillerat, 4t d'ESO | Etiquetat com a , , | Deixa un comentari

I tu què hi veus?

Durant aquesta setmana he iniciat les trobades amb alumnes de l’ESO de La Salle Bonanova en El club de raonament; un grup de matemàtiques on hi participen lliurement noies i nois entusiasmats amb el repte i amb moltes ganes de jugar i crear.

En aquest post detallo la primera activitat que hem realitzat i que ha estat tot un èxit: “I tu què hi veus?“.

Es basa en un preciós detall elaborat pel MMACA i que va ser lliurat per ABEAM a tots els participants en les seves XVIII Jornades, celebrades al novembre del 2015.

Primer de tot es reparteix a cada alumne la plantilla següent:factoritzacio

Se’ls explica que formen part d’un equip d’investigadors, tots formen un mateix equip, i que tenen com a repte desxifrar què s’hi troba en aquest full.

A més a més, se’ls fa entrega del Kit de supervivència per dialogar a l’aula,-no us podeu perdre aquest post d’en Sergi del Moral, i es recomana que algú del grup escrigui a la pissarra totes les idees que vagin sortint, amb l’objectiu que tothom les vegi i faciliti el debat.

En aquests moments, i durant una bona estona, s’acaba la nostra feina. És important que no intervinguem donant pistes; cal deixar que el temps passi i que es creï un clima de debat i confiança per tal que tots els alumnes se sentin lliures d’opinar, encara que ens sembli que alguna idea s’estigui allunyant de l’objectiu. Amb aquesta experiència estem treballant la comunicació i la construcció de coneixement de forma col·laborativa. Cal que els alumnes sentin que el repte és d’ells i que són capaços, en grup, d’assolir-lo. Us escric algunes de les idees/frases que van sortir, encertades o no. Són les seves observacions:

  • Falta un cercle. Per què?
  • Hi ha cercles de 6 tipus diferents (i van escriure quants n’havien de cada tipus)
  • N’hi ha 99
  • Estan en un quadrat de 10 x 10
  • El cercles de més a baix estan més dividits
  • En totes les files hi ha cercles sencers (no dividits)
  • En la quarta, sisena, vuitena i desena columna no hi ha cercles sencers
  • La segona columna està malament! El primer cercle hauria d’estar dividit
  • Això no té a veure amb la successió de Fibonacci?  –sempre hi ha algun alumne que ha sentit campanes. Veu que els tres primers cercles són 1,1,2 si mirem les seves parts
  • Això va d’esquerra a dreta i de dalt a baix! I són números.
  • Els números parells a partir del 4 tots estan dividits com a mínim en dos trossos ja que es poden dividir per 2.
  • I què passa amb el 9? Està dividit en dos trossos.

20160923_085925

Finalment, després d’uns 25 minuts en els meus grups, van acabar deduint que es tractava de la descomposició factorial en nombres primers.

A partir d’aquí, pots tornar a intervenir en l’activitat i posar sobre la taula bones preguntes que portin a la reflexió i a continuar amb el debat, o deixar que segueixin deduint propietats per ells mateixos. Tot dependrà de l’edat dels alumnes, el temps que disposem, el grup… Us deixo unes quantes preguntes a tall d’exemple:

  • Què representen el cercles no dividits en parts?
  • Si haguéssim de pintar la plantilla quants colors diferents necessitaríem?    –Els nombres primers són els àtoms de la matemàtica
  • Per què no apareix el primer cercle?
  • Per què la segona columna només té un cercle no dividit en parts? Està malament la plantilla?
  • Quines característiques defineix un nombre en aquesta plantilla? És a dir, en què es diferencien el 6, el 9 i el 10, per exemple? I el 4 i el 36?

Els deixem que pintin la seva plantilla.

treball_aulafactoritzacio_pintat

I un cop pintada podem aprofitar per seguir traient-li suc:

  • Quina disposició en la taula tenen els múltiples de 3? I els de 7?  I els de l’11? Trobarem patrons com els que es treballen amb la graella del 100, molt interessants per treballar a primària. Us recomano que visiteu el post que al respecte tenen els del PuntMat.
  • Com podem identificar, a partir de la forma (nombre de divisions) i color, si un nombre és un quadrat perfecte?

 

En el següent enllaç trobareu la plantilla amb GeoGebra: https://ggbm.at/p6qq75Yn

Atreviu-vos a posar-la en pràctica!

Nivell: Cicle superior de Primària – ESO
Tema: Factorització – Divisibilitat – Patrons i regularitats – Nombres primers
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Publicat dins de 03 Secundària, 04 Batxillerat | Etiquetat com a , | 2 comentaris

Omplim de taulellets!

Un taulellet és una rajola decorada i envernissada típica de València. Generalment és de forma quadrada i s’utilitza per a cobrir parets.  [http://rodamots.cat/taulellet/]

Suposem que volem enrajolar un tros de paret rectangular de mesures 28 \text{ dm } \times 12 \text{ dm }.
Per fer-ho disposem de taulellets de costat enter. Només hi ha tres normes:

  1. No podem superposar els taulellets. Les rajoles han d’anar enganxades directament a la paret.
  2. No els podem trencar. No és permès enganxar trossets de taulellet.
  3. Cal omplir tota la superfície sense sortir-se’n del perímetre.

euclides_01

Podríem enrajolar-la amb taulellets d’ 1 \times 1 \text{ dm } ? I amb taulellets de 3 \times 3 \text{ dm } ? Quants taulellets necessitaríem en cada cas?  
Continua llegint

Publicat dins de 1r d'ESO, 2n d'ESO, Cicle Superior | Etiquetat com a , , | Deixa un comentari

Tot preparant la setmana PI! (Cuinem i assaborim)

Saps quin gust té \pi? T’agradaria menjar-te’l? Aquí us deixo la gran recepta de les galetes \pi elaborades gràcies al motllo aconseguit en la MMACA.
Han estat tot un èxit entre el professorat i els alumnes!  😉

pas_14

Ingredients:

  • 125 g de mantega
  • 250 g de farina
  • 100 g de sucre
  • 50 ml de llet
  • 1 cullaradeta de llevat químic
  • Una mica de cacao en pols sense sucre, per donar color
  • aroma d’anís

Elaboració:

Treure la mantega de la nevera fins que quedi a temperatura ambient i treballar-la amb una forquilla fins que quedi amb textura de pomada.

  1. Barrejar en un bol la farina, el sucre, el llevat i el cacao.
  2. Escalfar la llet i afegir-la, juntament amb la matega, al bol.
  3. Treballar la massa amb una cullera de fusta i incorporar l’aroma d’anís.
  4. Seguir fins que  la massa es desenganxi de les parets.
  5. Enfarinar la taula de la cuina i posar-hi la massa.
  6. Amb un corró, allisar la massa i tornar a fer una bola (repetir aquesta acció E(\pi)\pm 1, i.e. 2,3 o 4 cops)
  7. Encendre el forn i esperar que arribi als 180ºC.
  8. Posar les galetes al forn uns 20 minuts vigilant que no es cremin.
  9. Deixar-les refredar.

L’elaboració en imatges:

Aquesta presentació amb diapositives necessita JavaScript.

BON PROFIT!!!

Nivell: Tots els nivells
Tema: Dia \pi
Recurs: Recepta de cuina
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Publicat dins de 00 General, 01 Infantil, 02 Primària, 03 Secundària, 04 Batxillerat | Etiquetat com a , , , | 1 comentari

Tot preparant la setmana PI! (Dobleguem i dibuixem)

En aquesta segona entrada treballarem la geometria des de la papiroflèxia i el GeoGebra. D’aquesta manera descobrirem alguns conceptes mitjançant la manipulació i la geometria dinàmica.

Material necessari:

  • Tisores, regle o cinta mètrica i compàs
  • Llibreta i eines per escriure o pintar
  • Ordinador o tauleta amb la darrera versió de Geogebra instal·lat i connexió a internet.
  • Mòbil (per realitzar fotos).
  • Fitxa retallable per als alumnes

Indicacions abans de realitzar l’activitat:

  • Disposició dels alumnes a l’aula: Malgrat no és imprescindible, seria convenient que els nois treballessin en grups de 2 o 3 persones per tal d’afavorir tant la discussió en la realització de la pràctica com la posada en comú de les idees i resultats obtinguts.
  • El professor hauria de portar impresa la fitxa enllaçada en l’apartat de material necessari. La quantitat de còpies és \normalsize E[n]+1 on \normalsize n és el nombre d’alumnes que faran l’activitat.
  • L’activitat es dividirà en dues parts. En funció del grup, el curs i els coneixements previs que tinguin els alumnes el professor podrà seleccionar quina o quines parts pot realitzar.

Realització de l’activitat:

1a part: Manipulació, papiroflèxia i dibuix

Se segueix el següent guió enllaçat, i després del 3r punt de la pràctica es reparteix el document (un full per grup) on hi ha 6 quadrats amb tres punts dibuixats (A, B i C).

2a part: Geogebra

Continguts:

  • Treball amb Geogebra.
  • Circumferència mitjançant tres punts no alineats.
  • Mediatriu i circumferència com a lloc geomètric.
  • Relació entre la longitud i el diàmetre de qualsevol circumferència.

Realització de la pràctica:

  • Primerament es demana als alumnes que facin fotografies d’objectes circulars que trobin per l’escola per tal de treballar-los amb GeoGebra.
  • Obriran el seu GeoGebra i seguiran la següent construcció dinàmica: enllaç

Excepcionalment per a aquells grups que no hagin emprat mai GeoGebra, o si hi ha alguna part de la construcció que no se sàpiga realitzar, es pot visualitzar el següent vídeo:

 

Nivell: ESO
Tema: Dia \pi
Recurs: Papiroflèxia i Geogebra
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Publicat dins de 00 General, 03 Secundària | Deixa un comentari

Tot preparant la setmana PI! (Mesurem)

En aquesta segona entrada treballarem la mesura mitjançant la manipulació i el full de càlcul.

Material necessari:

  • Un objecte circular, com més gran millor.
    Exemples: un got, un CD, una tassa, una ampolla de plàstic, una capsa de galetes, una anella, una roda,…
    mesurem_pi_01
  • Cinta mètrica de costura o la magnífica cinta IKEA (mesurades en cm i en polzades)
    mesurem_pi_02
  • Cinta adhesiva/ Blu tack mesurem_pi_03
  • Llibreta i eines per escriure o pintar
  • Portàtil , tauleta… amb connexió a Internet

Indicacions abans de realitzar l’activitat:

  • Disposició dels alumnes a l’aula: Els alumnes s’agrupen en equips de 5 / 6 persones per tal d’afavorir tant la discussió en la realització de la pràctica com la posada en comú de les idees i resultats obtinguts.
  • Aquesta pràctica parteix d’una activitat col.laborativa on tots els alumnes de secundària del centre mesuraran el perímetre i el diàmetre de l’objecte circular que hagin dut. S’ajuntaran totes les dades en un full de càlcul i després, depenent del nivell, es treballaran uns conceptes o d’altres. Així doncs, és un projecte que constarà de dues fases.

1a Fase: Recollida de dades.

Caldrà que cada grup es baixi el guió de l’activitat enllaçat a continuació, corresponent al seu curs:  1r d’ESO    2n d’ESO    3r d’ESO    4t d’ESO

2a Fase: Anàlisi de resultats.

(en construcció)

Nivell: Secundària
Tema: Dia \pi
Recurs: Pràctica col·laborativa, mesura i full de càlcul
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Publicat dins de 00 General, 03 Secundària | Etiquetat com a , , | Deixa un comentari

Tot preparant la setmana PI! (Escoltem i mirem)

Ja arriba, sí! El proper dissabte 14 de març a les 9:26:53 serà el GRAN DIA DE \pi \simeq 3,141592653\ldots

És per això que he decidit elaborar, recollir,… unes quantes activitats que poden ser útils per celebrar al llarg de la setmana aquest gran esdeveniment, i alhora, fomentar el coneixement i l’aprenentatge de les matemàtiques.

En aquesta entrada us deixo uns quants vídeos i cançons relacionades amb el nombre \pi

  • Et sona la famosa cançó “What does the fox say?“. Aquí tens una bona versió creada per una escola d’educació secundària.

  • Buena Fe – PI 3,14

  • El músic Michael Blake demostra com \pi també es pot convertir en peça musical amb diferents instruments, assignant un nombre a cada nota. Aquesta és la melodia resultant:

  • Una altra composició a partir de \pi

  • Et divertiràs molt escoltant la següent Chirigota:

  • I finalment, en aquest post no podia faltar el curtmetratge: \pi-PAS

Nivell: Tots els nivells
Tema: Dia \pi
Recurs: Videos, Cançons
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Publicat dins de 00 General, 03 Secundària, 04 Batxillerat | Etiquetat com a , , | Deixa un comentari