Matrius inverses

Aquí us deixo un bon problema sobre existència de matriu inversa.
 
Sigui M una matriu quadrada que verifica l’equació M^2-2\,M=3I , on I representa la matriu identitat.

  1. Estudiar si existeix la matriu inversa de M. En cas afirmatiu, expressar M^{-1} en funció de M i I.
  2. Trobar totes les matrius M de la forma \vspace*{2mm} \displaystyle \left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array} \right) que verifiquen l’equació M^2-2\,M=3I

Solució:

  • M^2-2M=M\cdot \left( M-2\,I \right)=3\,I \Rightarrow M\cdot \left(\frac{1}{3} M-\frac{2}{3}\,I \right)=I.

M i I són matrius quadrades d’ordre 2, per tant \frac{1}{3}M-\frac{2}{3}\,I també ho és, i alhora, multiplicada per M s’obté la matriu identitat.

Conclusió: M té matriu inversa i M^{-1}=\frac{1}{3} M-\frac{2}{3}\,I.

  • M^{-1}=\frac{1}{3}\left( M-2\cdot I\right)=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{cc} a-2 & b \\ b & a-2 \end{array} \right)

M \cdot M^{-1}=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{cc} a-2 & b \\ b & a-2 \end{array} \right)

M \cdot M^{-1}=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{cc} a(a-2)+b^2 & ab+b(a-2) \\ ab+b(a-2) & a(a-2)+b^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)

Per tant, ab+b(a-2)=2b(a-1)=0 \Rightarrow \begin{cases} b=0 \\ a=1 \end{cases}

Si b=0 \Rightarrow \frac{1}{3}\left( \begin{array}{cc} a(a-2) & 0 \\ 0 & a(a-2) \end{array} \right)=I\Rightarrow a(a-2)=3\Rightarrow \begin{cases} a=-1 \\ a=3 \end{cases}

Si a=1 \Rightarrow \frac{1}{3}\left( \begin{array}{cc} b^2-1 & 0 \\ 0 & b^2-1 \end{array} \right)=I\Rightarrow b^2-1=3\Rightarrow \begin{cases} b=-2 \\ b=2 \end{cases}

Així doncs, les matrius són \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\,\left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)\,\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right)\,\left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{array} \right)

Nivell: 2n de Batxillerat
Tema: Àlgebra Lineal, Matrius, Operacions amb matrius, Matriu Inversa
Recurs: Problema, Examen, PAU
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Advertisements
Aquesta entrada s'ha publicat en 04 Batxillerat, 2n Batxillerat i etiquetada amb , , . Afegiu a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s