Equació matricial

Considera les matrius  A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & -1 & \lambda \end{array} \right) i  B= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) .

  1. Hi ha algun valor de  \lambda per al que la matriu A no tingui inversa?
  2. Per a  \lambda=1 , resol l’equació matricial  A^{-1}\,X\,A=B


Solució:

  1. A és una matriu quadrada, per tant serà regular sii el seu determinant no és nul.
     det(A)=1\cdot(\lambda ^2+1) \neq 0 \Rightarrow \ la matriu A sempre serà regular.
  2.  A^{-1}\,X\,A=B \Leftrightarrow X=A\,B\,A^{-1} , i a més a més, sabem que  A^{-1}= \frac{1}{det(A)} \cdot adj \left( A^{T} \right)
     det(A)=1+1=2\, ; \, A^{T}= \left( \begin{array}{ccr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right)
     A^{-1}=\frac{1}{2}\cdot \left( \begin{array}{ccr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right)
     X=A\cdot B \cdot A^{-1}=\frac{1}{2}\cdot \left( \begin{array}{crc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ccr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right)
     X=\frac{1}{2}\cdot \left( \begin{array}{rcc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ccr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{rcr} 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1 & 1/2 & -1/2 \\ -1 & 1/2 & -1/2 \end{array} \right)
Nivell: 2n de Batxillerat
Tema: Àlgebra Lineal, Matrius, Equacions matricials
Recurs: Problema, Examen, PAU
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Anuncis
Aquesta entrada s'ha publicat en 2n Batxillerat i etiquetada amb , , . Afegiu a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s