Sistemes d’equacions lineals

Es considera el sistema  \begin{cases} x+ay-z = 2 \\ 2x+y+az=0 \\ x+y-z=a+1 \end{cases} , on a és un paràmetre real. Es demana:

  1. Discutir (no resoldre) el sistema en funció del valor d’a.
  2. Trobar la solució del sistema per a  a=1 , si es pot.


Solució:

Apartat 1: Discutir (no resoldre) el sistema en funció del valor d’a.

Traduïm el sistema d’equacions lineals a matrius:

 A'=\underbrace {\left( \begin{array}{ccr} 1 & a & -1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right.}_{A} \underbrace {\left. \begin{array}{|c} 2 \\ 0 \\ a+1 \end{array} \right)}_{b}
 

Mirem quan  det(A)\neq 0.

Per Sarrus,  det(A)= [-1+a^2-2 ]-[-1-2a+a]=a^2+a-2=0 \Leftrightarrow \begin{cases} a=-2 \\ a=1 \end{cases}

Si  a\neq -2 \wedge a\neq 1 , els rangs de la matriu de coeficients (A) i l’ampliada (A’) coincideixen amb el nombre d’incògnites, 3. Pel Teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema és compatible determinat.

Si  a=-2 ;

 A'=\left( \begin{array}{crr|r} 1 & -2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \end{array} \right) \underset{\begin{array}{l} F'_2 \to F_2 - 2F_1 \\ F'_3 \rightarrow F_3 - F_1 \end{array}}{\sim}\left( \begin{array}{crr|r} 1 & -2 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & -4 \\ 0 & 3 & 0 & -3 \end{array} \right)\underset{\begin{array}{l} F'_3 \to \frac 13 F_3 \\ F_2 \leftrightarrow F'_3 \end{array}}{\sim} \left( \begin{array}{crr|r} 1 & -2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 5 & 0 & -4 \end{array} \right)\underset{F'_3 \to F_3-5F_2 }{\sim}\left( \begin{array}{crr|r} 1 & -2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
 
Així doncs, el rang de la matriu de coeficients és 2, i el de l’ampliada 3. Pel Teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema és incompatible.

Si  a=1 ;

 A'=\left( \begin{array}{crr|r} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \underset{\begin{array}{l} F'_2 \to F_2 - 2F_1 \\ F'_3 \rightarrow F_3 - F_1 \end{array}}{\sim}\left( \begin{array}{crr|r} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

 
Així doncs, el rang de la matriu de coeficients i el de l’ampliada és 2, i el nombre d’incògnites és 3. Pel Teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema és compatible indeterminat amb 1 grau de llibertat.

Apartat 2: Trobar la solució del sistema per a  a=1 , si es pot.

 
La segona fila de la matriu ens diu:  y=4+3z
Si ho substituïm a l’equació que ens dóna la 1a fila de la matriu:
 x+(4+3z)-z=2 \Rightarrow x=-2-2z

 
Així doncs, la solució del sistema és:
 (x,y,z)=(-2,4,0)+z\cdot \overset{\longrightarrow}{(-2,3,1)} \text{ on } z\in\mathbb{R}

 

Nivell: 2n de Batxillerat
Tema: Àlgebra Lineal, Sistemes d’equacions lineals
Recurs: Problema, Examen, PAU
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Anuncis
Aquesta entrada s'ha publicat en 2n Batxillerat i etiquetada amb , , . Afegiu a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s