Composició de funcions i dominis

Donada la funció  f(x)=\log \left(\frac{x^2-1}{x}\right) :

  1. Expressa  f(x) com la composició de dues funcions f_1(x) \text{ i } f_2(x) .
  2. Determina de quin tipus són les funcions f_1(x) \text{ i } f_2(x) i troba el domini de cadascuna.
  3. Indica de forma raonada quin és el domini de la funció  f(x) .


Solució:

Apartat 1: Expressa  f(x) com la composició de dues funcions f_1(x) \text{ i } f_2(x) .
 
Definim f_1(x)=\log(x) \text{ i } f_2(x)=\frac{x^2-1}{x}
 
\left( f_1 \circ f_2 \right)(x)=f_1 \left( f_2(x) \right)= f_1 \left( \frac{x^2-1}{x} \right)=\log \left(\frac{x^2-1}{x}\right)=f(x)

Apartat 2: Determina de quin tipus són les funcions f_1(x) \text{ i } f_2(x) i troba el domini de cadascuna.

f_1(x)=\log(x) és una funció logarítimica i està definida quan l’argument (x) pren valors estrictament positius. \text{Dom } f_1 = \left(0,+\infty \right)
 
f_2(x)=\frac{x^2-1}{x} és una funció racional i està definida quan el denominador no s’anul·la.
\text{Dom } f_2 = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}

Apartat 3: Indica de forma raonada quin és el domini de la funció  f(x) .

Per determinar el \text{Dom } f(x)=\log \left(\frac{x^2-1}{x}\right) caldrà buscar per a quins valors de x, l’argument \frac{x^2-1}{x} >0 i alhora, tenir en compte que x\neq 0 ja que és el denominador.
 
Per estudiar el signe de \frac{x^2-1}{x}, mirarem quan s’anul·la: x^2-1=0 \Leftrightarrow x=\pm 1
 
Prenem un punt qualsevol de l’intèrval I_1 (-\infty,-1), per exemple x=-2:\qquad \frac{(-2)^2-1}{-2}<0\Rightarrow \frac{x^2-1}{x} <0

Prenem un punt qualsevol de l’intèrval I_2 (-1,0), per exemple x=-1/2:\qquad \frac{(-1/2)^2-1}{-1/2}>0\Rightarrow \frac{x^2-1}{x} >0

Prenem un punt qualsevol de l’intèrval I_3 (0,1), per exemple x=1/2:\qquad \frac{(1/2)^2-1}{1/2}<0\Rightarrow \frac{x^2-1}{x} <0

Prenem un punt qualsevol de l’intèrval I_4 (1,+\infty), per exemple x=2:\qquad \frac{(2)^2-1}{2}>0\Rightarrow \frac{x^2-1}{x} >0
2014_02_25_composicio_de_funcions_i_dominisAixí doncs, el \text{Dom }(f)=(-1,0)\cup(1,+\infty)

2014_02_25_composicio_de_funcions_i_dominis_2

 

Nivell: 4t d’ESO, 1r de Batxillerat
Tema: Anàlisi, Funcions, Operacions amb funcions, Domini de funcions
Recurs: Problema, Examen
Autoria: Manel Martínez i Pascual, Jordi Campos i Miralles
Anuncis
Aquesta entrada s'ha publicat en 1r Batxillerat, 4t d'ESO i etiquetada amb , . Afegiu a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s