Funcions exponencial i logarítimica a partir de la reproducció de bacteris

En condicions favorables d’alimentació i d’espai els bacteris es repliquen, és a dir, d’un  bacteri “mare” es generen dos bacteris “fills”, en períodes fixos de temps propi de cada  espècie. Suposem que disposem de 5 bacteris inicials i que són d’una espècie que es replica  cada segon. Volem estudiar com serà l’evolució del creixement de la colònia de bacteris a mesura que passi el temps.

  1. Exposa quines són les variables d’estudi i les seves unitats de mesura.
  2. Fes una taula de valors que t’ajudi a representar gràficament la relació entre les variables (f). Dibuixa-la.
  3. Determina l’expressió analítica de la funció inversa (f^{-1}) i escriu les seves característiques.

Solució:

Apartat 1: Exposa quines són les variables d’estudi i les seves unitats de mesura.

\begin{array}{l l} x:\text{temps [segons]} \\ y: \text{nombre de bacteris}\end{array}

Apartat 2: Fes una taula de valors que t’ajudi a representar gràficament la relació entre les variables (f). Dibuixa-la.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline y & 5 & 10 & 20 & 40 & 80\\ \hline \end{array}

2014_02_25_exponencial
Apartat 3:Determina l’expressió analítica de la funció inversa (f^{-1}) i escriu les seves característiques.

A partir de l’expressió analítica de f busquem la de f^{-1}:

f(x)=5\cdot 2^{x} \Rightarrow 2^x = \frac{f}{5} \Rightarrow x=\log_2 \left(\frac{f}{5}\right). Així doncs, f^{-1}(x)=\log_2 \left(\frac{x}{5}\right)=g(x)

2014_02_25_exponencial_2

Característiques de g(x):

  • És una funció estrictament creixent.
  • \text{Dom}(g)=\left[ 5,+\infty \right).
  • És una funció positiva: \text{Im}(g)=\left[ 0,+\infty \right).
  • És còncava en tot el seu domini.
  • f \text{ i } g  són simètriques respecte la bisectriu del 1r i 3r quadrants (y=x).

 

Nivell: 4t d’ESO, 1r de Batxillerat
Tema: Anàlisi, Funcions, Funció exponencial, Funció Logarítmica, Funció Inversa
Recurs: Problema, Examen
Autoria: Manel Martínez i Pascual, Jordi Campos i Miralles
Anuncis
Aquesta entrada s'ha publicat en 1r Batxillerat, 4t d'ESO i etiquetada amb , , , . Afegiu a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

S'està connectant a %s