Rectes tangents a una circumferència

Donada una circumferència centrada a l’origen de radi 3 i un punt exterior P(5, 0):

  1. Representa la situació del problema i dibuixa les rectes tangents a la cònica que passen per P.
  2. Quina distància existeix entre els punts de tangència i P?
  3. Determina les equacions de les rectes tangents.

Solució:

Apartat 1: Representa la situació del problema i dibuixa les rectes tangents a la cònica que passen per P.

circumferència i tangents

Apartat 2: Quina distància existeix entre els punts de tangència i P?

triangles rectangles a partir de circumferència i trectes tangents

h^2=c_1^2+c_2^2 \,;\, c_2 = \sqrt{h^2-c_1^2} \,;\, c_2 = \sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4

\Rightarrow la distància entre P i els punts de tangència és de 4 unitats.

Apartat 3: Determina les equacions de les rectes tangents.

Equacions rectes tangents a circuferència

Usant trigonometria obtenim l’angle \gamma :

\sin(\gamma) = \frac{\overline{AB}}{\overline{CB}} = \frac{3}{5} \,;\, \gamma = \arcsin{(\frac{3}{5})} \simeq 0.64 = 36.87^{\circ}

Alhora \gamma és l’angle que fa la recta amb l’eix OX però canviat de signe, i per tant el que podem usar per calcular el pendent:

m = \tan(-\gamma) \simeq \tan(-0.64) = -0.75 = \frac{-3}{4} = \frac{\Delta_y}{\Delta_x}

De forma que ja podem trobar fàcilment les equacions punt-pendent:

(y-y_0) = m (x-x_0) \,;\, (y-0) = \frac{-3}{4} (x-5) \,\,i\,\, (y-0) = \frac{3}{4} (x-5)

i així passar a les equacions generals (per conveni, si no s’indica el tipus d’equació, trobarem les equacions generals):

y = \frac{(-3)x-(-3)5}{4} \,;\, y = \frac{-3x+15}{4} \,;\, 4y = -3x+15 \,;\, 3x+4y-15 = 0
i
y = \frac{3x-3 \cdot 5}{4} \,;\, y = \frac{3x-15}{4} \,;\, 4y = 3x-15 \,;\, -3x+4y+15 = 0 \,;\, 3x-4y-15 = 0

Per tant, les equacions de les rectes tangents són:
3x+4y-15 = 0 \,\,;\,\, 3x-4y-15 = 0

 

Nivell: 4t d’ESO, 1r de Batxillerat
Tema: Geometria, Trigonometria, Còniques, Rectes
Recurs: Problema, Examen
Autoria: Manel Martínez i Pascual, Jordi Campos i Miralles
Anuncis
Aquesta entrada s'ha publicat en 1r Batxillerat, 4t d'ESO i etiquetada amb , , , , . Afegiu a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

S'està connectant a %s