Continuïtat i asímptotes d’una funció amb tros irracional i tros racional

Considera la funció: g(x)=\begin{cases} \sqrt{9-x} \qquad si \quad x < 8 \\ \frac{1}{(9-x)^2} \qquad si \quad x \ge 8 \end{cases}

  1. Estudieu la continuïtat en x=8 i classifica la discontinuïtat en cas que en tingui.
  2. Troba les equacions de les asímptotes de g(x).

Solució:

Apartat 1: Estudieu la continuïtat en x=8 i classifica la discontinuïtat en cas que en tingui.

Fem els límits laterals:

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8^{-}} g(x) = \lim_{x \rightarrow 8^{-}} \sqrt{9-x} = \sqrt{9-8} = \sqrt{1} = 1

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8^{+}} g(x) = \lim_{x \rightarrow 8^{+}} \frac{1}{(9-x)^2} = \frac{1}{(9-8)^2} = \frac{1}{1^2} = 1

Com que coincideixen podem afirmar que existeix el límit de la funció en el punt x=8.

A més, \displaystyle f(8)=\lim_{x \rightarrow 8} g(x)=1\ \Rightarrow la funció és continua en x=8.

 

Apartat 2: Troba les equacions de les asímptotes de g(x).

Estudiem les asímptotes horitzontals (A.H.):

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{9-x} = \sqrt{9-(-\infty)} = +\infty

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{(9-x)^2} = \frac{1}{(9-\infty)^2} = \frac{1}{(-\infty)^2} = \frac{1}{+\infty} = 0

Així doncs, existeix una asímptota horitzontal en y=0 quan la x tendeix a + \infty

Estudiem si hi ha asímptota oblíqua per x \to -\infty

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{g(x)}{x}=\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{9-x}}{x}=0\ ja que l’ordre de la variable del numerador és menor que l’ordre de la x del denominador.

Així doncs, g no presenta asímptota oblíqua.

Estudiem les asímptotes verticals (A.V.):

Les possibles asímptotes verticals seran x=8 per produir-se un canvi de tros, i x=9 per ser un punt fora del domini de g.

  • x=8 no ho serà, per ser g contínua en aquest punt (vist en l’apartat anterior).
  • \displaystyle \lim_{x \to 9}\frac{1}{(9-x)^2}=\frac{1}{0}=\infty. Així doncs, x=9 és Asímptota Vertical de g.

En conjunt doncs, la funció g(x) té dues asímptotes: una A.V. a x=9 i una A.H. a y=0.

Representació gràfica: (no la demanava l’enunciat)

 sqrt_9-x_AND_1_over_9-x_2

Nivell: 4t d’ESO, 1r de Batxillerat
Tema: Anàlisi, Funcions, Funció irracional, Funció Inversa
Recurs: Problema, Examen
Autoria: Manel Martínez i Pascual, Jordi Campos i Miralles , inspirat en un problema de l’IES Pons d’Icart.
Anuncis
Aquesta entrada s'ha publicat en 1r Batxillerat i etiquetada amb , , , , . Afegiu a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

S'està connectant a %s