Derivada i recta tangent d’una funció irracional

Considera la funció: f(x) = \sqrt{9-x}:

  1. Calcula f'(0) usant la definició de derivada.
  2. Troba l’equació de la recta tangent i la normal en el punt d’abscissa x=0.

Solució:

Apartat 1: Calcula f'(0) usant la definició de derivada.

\displaystyle f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{\sqrt{9-0}- \sqrt{9}}{h} = \frac{0}{0} ?

Buscarem una fracció equivalent multiplicant i dividint pel conjugat:

\displaystyle f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{9-h} - \sqrt{9}}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{9-h} - 3}{h} \cdot \frac{\sqrt{9-h} + 3}{\sqrt{9-h} + 3} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{9-h-9}{h \cdot (\sqrt{9-h} + 3)} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{h \cdot (\sqrt{9-h} + 3)} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{\sqrt{9-h} + 3} = -\frac{1}{6}

 

Apartat 2: Troba l’equació de la recta tangent i la normal en el punt d’abscissa x=0.

Si la recta és tangent:

  • ha de coincidir en un punt
  • ha de tenir el mateix pendent

Punt: x=0 aleshores y = 3, per tant el punt és P(0,3)

Pendent: f'(0)=-\frac{1}{6}

Per tant la recta tangent (t) és: t: y - 3 = -\frac{1}{6} \cdot (x - 0) o en la seva equació general t: x + 6y - 18 = 0.

La recta normal té el vector director perpendicular a la tangent: m = 6 (naturalment, al ser un vector director i no importar el sentit, també pot ser m = -6).

Així que la recta normal (n) és: n: y - 3 = 6 \cdot (x - 0) o en la seva equació general n: 6 x + y - 3 = 0.

Representació gràfica: (no la demanava l’enunciat)

sqrt_9-x_tangent_normal_0_3

 

Nivell: 4t d’ESO, 1r de Batxillerat
Tema: Anàlisi, Funcions, Funció irracional, Funció Inversa
Recurs: Problema, Examen
Autoria: Manel Martínez i Pascual, Jordi Campos i Miralles , inspirat en un problema de l’IES Pons d’Icart.
Anuncis
Aquesta entrada s'ha publicat en 1r Batxillerat i etiquetada amb , , , . Afegiu a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

S'està connectant a %s