Demostracions amb policubs

Qui no ha sentit a parlar de la famosa anècdota de C.F. Gauss amb 10 anys, resolent-li en un tres i no res al seu professor d’aritmètica, el resultat de la suma dels 100 primers nombres naturals? El gran Gauss va obtenir que 1+2+3+\cdots+99+100=5050.
Donat que aquesta anècdota de la biografia de Gauss no és l’objectiu principal de l’entrada, i entenent que potser us interessa, us deixo un enllaç on podreu continuar llegint sobre el que hi ha de cert d’aquesta història. [enllaç]

És habitual trobar-se en primers cursos d’anàlisi matemàtica l’exercici de demostrar per inducció que 1+2+3+\cdots+n=\frac{n \cdot (n+1)}{2}.

Si substituïm n=100 obtenim el resultat de Gauss: 5050.

La demostració per inducció no és gens complicada, però en aquesta entrada us mostraré com podem utilitzar els policubs per tal d’arribar a aquest resultat.

El problema inicial el podem transformar en saber quants policubs tenim en la següent fotografia.
policubs_1
Visualitzem la següent suma 1+2+3+4+5+6+7+8+9.

Construïm una altra figura exactament igual a la que tenim:

policubs_2

Queda clar que ara tenim que la suma total de policubs és el doble. Fent un petit gir, veiem que les dues peces encaixen exactament formant un rectangle de base 9 i altura 10.

policubs_3 policubs_4

Així doncs, en el rectangle tenim un total de 9 \cdot 10 policubs, i per tant 1+2+\cdots+9=\frac{9 \cdot 10}{2}.

Aquesta demostració visual ens permet concloure que 1+2+3+\cdots+n=\frac{n \cdot (n+1)}{2}

Nivell: Primària-Secundària
Tema: Inducció
Recurs: Matemàtica manipulativa
Autoria: Manel Martínez i Pascual
Anuncis
Aquesta entrada s'ha publicat en 02 Primària, 03 Secundària, 04 Batxillerat i etiquetada amb , . Afegiu a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Una resposta a Demostracions amb policubs

  1. Retroenllaç: GeoJS: Fins a l’infinit i més enllà! | EduLogiX

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

S'està connectant a %s